Poincaré et les équations aux dérivées partielles, du balayage à l’équation des télégraphistes

Titulaire de la chaire de physique mathématique de 1886 à 1896, sans avoir jusque là contribué au domaine, Henri Poincaré a pris le sujet au sérieux en apportant dès 1887 des contributions essentielles aux équations de la physique mathématique. Si les titres de ses contributions, où se retrouvent des expressions comme « distribution électrique, chaleur, propagation de l’électricité, vibrations d’une membrane », témoignent de motivations issues de la physique et de la technique, les résultats obtenus renouvellent complètement la théorie des équations aux dérivées partielles. Pour la première fois, l’existence d’une solution au problème de Dirichlet sur un domaine borné quelconque, et celle de toutes ses valeurs propres, est prouvée rigoureusement, par des méthodes qui inspireront les mathématiciens pendant tout le XXe siècle. Poincaré donne aussi la première solution complète de l’équation des télégraphistes pour un conducteur indéfini, qui explique les anomalies rencontrées dans la propagation du signal et dans la mesure de sa vitesse. Enfin, à l’occasion d’une équation aux dérivées partielles non linéaire liée aux fonctions fuchsiennes, Poincaré utilise une méthode de continuation qui deviendra, dans les mains de Leray et Schauder, l’un des outils les plus puissants de l’analyse fonctionnelle non linéaire. L’exposé esquissera l’histoire de ces contributions, avec un minimum de technique mathématique.