Mathématiques et Finance : périple d’une martingale de Monte-Carlo à la City de Londres

Depuis les années 70, la finance de marché a connu un essor important. Les mathématiques, et plus particulièrement les probabilités, y ont joué un rôle considérable.
Lors de cet exposé, je vous montrerai, à l’aide d’exemples concrets, comment l’aléa financier peut se modéliser mathématiquement, permettant alors le calcul de prix de produits financiers.
Nous verrons que, pour ce calcul de prix, ce ne sont pas les chances réelles d’arriver des différents scenarii futurs qui sont importantes, mais une autre évaluation de ces chances (appelée la probabilité risque-neutre). En effet, les prix des actifs financiers (correctement renormalisés) sont alors constants en moyenne au cours du temps, si la moyenne est calculée selon cette nouvelle évaluation. C’est ce que l’on appelle une martingale et cette notion, bien connue des parieurs de Casino, est centrale dans la modélisation des problèmes de finance de marché. Il ne s’agit là que de modèles et nous insisterons sur l’importance d’en comprendre les limites. Pour citer Cocteau et son poème martingale, « nul ne peut attraper la chance ».